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¿Hay muchos números primos?

¿Cómo sabemos si un número es primo?

En el apartado "Divisores de un número" hemos recordado que un número es primo cuando no tiene divisores (aparte de 1 y él mismo) [*] El 1 no se considera primo ni compuesto.

Así que, cuando nos pregunten si un número es primo,

  • Tendríamos que probar con todos los números menores que él para ver si es divisible ¡pero pueden ser muchos!
  • Realmente será suficiente con que probemos con los números primos menores que él

Podemos probar con todavía menos números si usamos el criterio de la raíz:

Un número es primo cuando no es divisible entre ningún primo menor que su raíz cuadrada

Una forma sencilla de usarlo es:

  • Si vamos dividiendo entre todos los números primos hasta llegar a cierto primo que elijamos, el primer número con el que esta comprobación no será suficiente para saber si es o no primo, es precisamente el cuadrado del siguiente primo al elegido.
  • Por ejemplo, el primo siguiente al 7 es 11, y  112=121. Así que,
    Un número menor que 121 es primo si no puede dividirse por 2, 3, 5 o 7.
    Conociendo los criterios de divisibilidad, ¡la comprobación es muy rápida!

El primo de Grothendiek

Grothendiek es uno de los matemáticos más famosos que ha habido. En cierta ocasión, alguien le preguntó que le dijese un número primo. Con las prisas, no se detuvo a pensar y contestó

...de acuerdo, el número 57...

¡Sin embargo, el número 57 no es primo! ¿Sabrías decir por qué? 

Desde entonces, al número 57 se le conoce como El primo de Grothendiek.

La criba de Eratóstenes

Un proceso para encontrar números primos es escribir todos los números y tachar los que no lo sean. Por ejemplo, escribir todos los números hasta el 100, y

  • A partir del 2, tachar todos los números de dos en dos (múltiplos de 2)
  • A partir del 3, tachar todos los números de tres en tres (múltiplos de 3)
  • Y así sucesivamente...

Al final, solo quedarán sin tachar los números que no son múltiplos de ningún otro; o sea, los números primos.

  • Como sabemos, no es necesario tachar los múltiplos de 4 (porque ya se habrán tachado al quitar los múltiplos de 2) ni de ningún otro número compuesto.
  • De hecho, hemos visto que si queremos los primos menores que 100, basta con tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7.

Con la siguiente actividad podemos hacer ese proceso más cómodamente

ACTIVIDAD "Criba de Eratóstenes":

Interactividad GeoGebra

Si no puedes ver bien la actividad, visita https://www.geogebra.org/m/fNknhTBM

Instrucciones:

  • En la casilla Números podemos elegir hasta qué número usar en la criba
  • Aparecerán recuadrados los primos que hay que usar como mínimo para quitar todos los que son compuestos.
    El último primo para elegir es 19. El siguiente sería 23, así que podremos detectar todos los primos menores que 232=529.
  • Los números que sean divisibles por alguno de los marcados se indican en verde. Debajo de ellos se anota de qué números son múltiplos.

Infinitos números primos

Desde el matemático griego Euclides, se sabe que hay infinitos números primos; de hecho, hoy conocemos números primos con millones de cifras.

En enero de 2018 se comprobó que el número número 277 232 917 1  es primo ¡y tiene más de 23 millones de cifras!
Algunos meses más tarde, en diciembre de 2018, se comprobó que el número 282 589 933 - 1  es primo ¡y tiene casi 25 millones de cifras! 

Nuestro turno

Este tipo de números (los anteriores a una potencia de 2), se llaman números de Mersenne y suelen ser los que se investigan para encontrar números primos tan grandes como el anterior.

Calcula los siguientes números de Mersenne, y comprueba si son primos:

22-1  ,   23-1  ,   24-1  ,   25-1  ,   26-1   ,   27-1 


Los matemáticos siguen buscando alguna forma rápida de generar todos los números primos. Los representan, dibujan, estudian patrones, etc.

Para ver varias visualizaciones con los 62500 primeros primos, podemos entrar en esta página de bigblueboo.com (pulsa aquí), donde veremos los números primos marcados como puntitos, y los compuestos como un espacio en blanco.

En esta página de pntic.mec (pulsa aquí), tenemos una lista con los 10000 primeros números primos.

Fíjate que para calcularlo, hay que multiplicar 2 por sí mismo
¡más de 77 millones de veces!,
y luego restarle 1.

Su nombre es la "M" de Mersenne, y luego el exponente que acompaña al número 2.

Para calcularlo, hay que multiplicar 2 por sí mismo
¡más de 82 millones de veces!,
y luego restarle 1.