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¿Jugamos?

Aquí tenemos algunos de los juegos matemáticos sobre divisibilidad que se han propuesto en clase.

Ciertamente, se ahorraría mucho tiempo si tuviésemos alguna forma rápida de comprobar si un número será divisible por 2, 3, 5,... Para eso tenemos los "criterios de divisibilidad", que seguramente ya conocemos. 

Para repasarlos, podemos visitar primero la sección "Magia con criterios de divisibilidad".

El juego de la criba

David ha traído a clase un juego para practicar los múltiplos y divisores, que ha encontrado en un libro de Juegos Matemáticos de Ian Stewart.

Números del 1 al 36

Las reglas son:

  • Colocamos números, por ejemplo, hasta 36, en forma de rectángulo/cuadrado
  • Por turnos, cada jugador elige un número y lo tacha. Pero el número debe ser múltiplo o divisor del que eligió el jugador anterior. El primer jugador debe elegir un número par
  • El juego se acaba cuando no quede ningún número múltiplo o divisor para elegir, y gana el jugador que eligió el último número

Pensamos...

  • ¿Habrá alguna estrategia con la que podamos ganar?
  • ¿En qué casos tenemos asegurada la victoria?

Otra posibilidad es que cada vez que un jugador no puede elegir número, se anota que pierde un punto, y se le permite elegir cualquier número para continuar el juego. Gana el jugador que menos puntos pierda.

[*] En la web retomates.es tenemos una versión para jugar contra el ordenador.
En nrich.maths.org hay una versión que permite llevar la cuenta de cuántos números seguidos hemos tachado antes de que no haya múltiplos o divisores para elegir. Luego, permite continuar tachando, haciendo una nueva "cadena" de números con divisores en común.

Cubos y cubitos

Las figuras de la actividad "Cubos y cubitos" se llaman ortoedros. Fijémonos en ellas: 

  • ¿Es necesario contar uno a uno todos los cubitos para saber cuántos hay en cada ortoedro?
    Sabemos que no. El truco es contar cuántos hay a lo largo, a lo ancho y a lo alto, y multiplicar las tres cantidades.
  • Sabiendo esto, calculamos cuántos cubitos contiene cada uno. ¿Es la misma cantidad?
  • ¿Se podrán construir otros ortoedros diferentes, pero con ese mismo número de cubitos?

ACTIVIDAD: "Cubos y cubitos"

Vamos a reflexionar sobre algunas cuestiones similares a las anteriores. Modifica el tamaño de cada ortoedro y aplica tus conocimientos sobre divisibilidad para resolverlas. 

  1. ¿Cuántos ortoedros distintos pueden construirse con 5 cubitos? ¿Y con 7? ¿Por qué será?
  2. Con 4 cubitos sólo pueden construirse 2 ortoedros. 
  3. ¿Podríamos encontrar más ejemplos en los que sólo puedan construirse 2 ortoedros?¿Habrá alguna regla general?
  4. Con 8 cubitos sólo pueden construirse 3 ortoedros. Con 16 cubitos, 4 ortoedros. Pero ¿qué ocurre con 32 cubitos?
  5. El profesor propondrá un número de cubitos y, por grupos, intentaremos encontrar la mayor cantidad de ortoedros que puedan formarse con ellos

Interactividad GeoGebra

Si no puedes ver bien la actividad, visita https://www.geogebra.org/m/Ngnrpjmw

Instrucciones

  • Podemos elegir mostrar o no el interior de cada figura "ortoedro" haciendo click sobre ella.
  • Pulsamos el botón para ver los cálculos del número de cubitos.
  • Podemos cambiar la posición de cada figura moviendo el punto naranja.
  • Haciendo click sobre el punto, alternamos entre moverlo de izquierda a derecha y moverlo de arriba a abajo.
  • Los otros tres puntos te servirán para modificar el tamaño de cada figura.

Fósiles

A Rosa le gusta la paleontología. Buscando en Internet (web www.1000problems.org), encontró una actividad matemática "relacionada" con los fósiles; en este caso, de números:

Ilustración con fósiles de dinosaurios bajo tierra

Fosilizar un número consiste en multiplicar sus cifras. Después, multiplicar las cifras del resultado, y así sucesivamente hasta que resulte un número con una sola cifra.

Por ejemplo:

  • 231 ⇢ 2 · 3 · 1 = 6. El fósil de 231 es 6.
  • 342 ⇢ 3 · 4 · 2 = 24 ; 24 ⇢ 2 · 4 = 8. El fósil de 342 es 8.

Ahora nos propone el reto de averiguar:

  1. El orden de las cifras del número ¿influye en su fósil? ¿por qué?
  2. Alguna condición para que el fósil sea par, y alguna condición para que resulte 0
  3. El menor número con todas las cifras impares, y aún así, su fósil resulte par
  4. Encuentra un número de 5 cifras cuyo fósil sea 6.
    Más difícil todavía: consigue que todas sus cifras sean diferentes.
  5. Encuentra el mayor número posible con todas las cifras diferentes y fósil no nulo (pista: tiene 7 cifras)
  6. Encuentra el mayor número que tenga todas las cifras diferentes y fósil impar (pista: tiene 4 cifras)
  7. Investiga: ¿Qué números de 2 cifras tienen fósil 4? (pista: las posibilidades para que al multiplicar las cifras salga 4, son: 14, 41 y 22. ¿De qué otros números de dos cifras pueden venir éstos?)

(*) Como hay que hacer muchos cálculos, puede ser buena idea utilizar la calculadora