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Primos, MCM y MCD. Su magia protege Internet

Comprando por Internet

Al introducir el PIN de nuestra tarjeta o de nuestro móvil en una página web, ¿quién nos asegura que nadie interceptará nuestro mensaje y nos robará el PIN?

Pues no lo podrán robar. Aunque se intercepte el mensaje, nadie averiguará cuál es el número que estamos transmitiendo.

¿Es porque Internet está protegida por una capa de magia?
No. Es porque tenemos matemáticas y números primos para protegernos.

Ilustración con números primos caracterizados de detective, superhéroe, etc.

  • Vamos a aprender cómo usarlos para codificar los mensajes de manera que, aunque alguien sepa cuál es el método para codificar e intercepte el mensaje codificado, ¡no sea capaz de averiguar nuestro número!
  • Solo nosotros podremos decodificar la información. Las matemáticas se aseguran de ello.

Para que se entienda mejor el proceso, en esta práctica, solo codificaremos números de 4 cifras, y usaremos números pequeños. En realidad, se usan números con muchísimas cifras.
[Pulsa aquí para ver más información sobre criptografía]

Usaremos la siguiente actividad para resolver algunas cuestiones relacionadas con la criptografía. Anotaremos todos los pasos de cada actividad para preparar una pequeña exposición de todo el proceso.

ACTIVIDAD "Criptografía con claves públicas y privadas":

Generamos las claves

  1. Pulsamos en Generar Claves
  2. Elegimos dos números primos cualquiera de las listas desplegables
  3. Pulsamos en ¡Otra clave! para generar claves nuevas
    ¡No te olvides!, porque las claves dependen de los primos elegidos
  4. Anotamos los dos números que forman la clave pública, y los dos que forman la clave privada

Usamos las claves

  1. Escribimos nuestro PIN (un número cualquiera de 4 cifras o menos) en la casilla Encripta... y pulsamos el botón para calcular.
    Anotamos la operación que ha hecho el ordenador, y el número encriptado
  2. Introducimos el número encriptado en la casilla Desencripta... y pulsamos el botón para calcular.
    Anotamos la operación que ha hecho el ordenador
  3. ¿Hemos recuperado nuestro número? ¿Ha sido magia o habrá una explicación matemática?
    (*) Si no te ha funcionado, no te preocupes. Es que no habías pulsado en ¡Otra clave! para generar claves correctas con los primos elegidos. Hazlo ahora y repite los pasos de este apartado.

Decodificamos un mensaje

  1. Da tu clave pública (exponente y divisor) a algunos de tus compañeros
  2. Pídele que pulse en Usar claves... y que la introduzca en su sitio
  3. También, que se invente un PIN, lo codifique y te pase el número codificado.
    ¿Qué operación hace el ordenador para codificarlo?
  4. Con tu clave privada, haz el mismo proceso para recuperar el PIN ¡solo tú podrás hacerlo!
    ¿Qué operación ha hecho el ordenador para lograrlo?

Mi mensaje secreto

  1. Pulsando en Usar claves..., introduce en su sitio la clave pública que te proporcione alguno de tus compañeros
  2. Escribe tu PIN en la casilla correspondiente y pulsa ¡Codificar!
  3. Dile el número a tu compañero. No importa si los demás lo oyen; solo él podrá desencriptarlo, porque solo él tiene la clave privada.

Interactividad GeoGebra

Si no puedes ver bien la actividad, visita https://www.geogebra.org/m/fjxtmmpu

Nuestro turno

Vamos a preparar una exposición sobre el proceso de criptografía

  • Pulsando en Explicaciones..., leemos las explicaciones sobre cómo funciona la criptografía
  • Reunimos las anotaciones que hicimos antes tras cada cálculo
  • Redactamos cómo ha sido el proceso y qué operaciones ha ido haciendo el ordenador

Reflexionamos

Incluso las potencias con números no muy grandes (como las utilizadas en este applet) enseguida resultan muy, muy grandes. ¿Crees que un ordenador puede, por ejemplo, manejar números como 54137 , y dividirlos entre 42651 fácilmente?

  • Si no usamos programas muy específicos, no se puede. 
  • Entonces, ¿por qué este applet sí puede?
  • Como solo nos interesa el resto de la división, podemos usar propiedades matemáticas para ahorrar trabajo.
    • El resto de la división puede calcularse antes o después de hacer las potencias.
    • Lo bueno es que el resto no es tan grande como una potencia.
      Así, los números usados nunca son mayores que lo que podemos manejar.
  • Por ejemplo, podemos escribir 54132=54110·54110·54110·5412 y, antes de multiplicar, calcular el resto de cada factor.
  • Es más, también se puede hacer lo mismo con 54110=5414·5414·5412, y si es preciso seguir descomponiendo más esas potencias.

En el applet, cada vez que necesitamos calcular el resto al dividir una potencia, recurrimos a este "truco" para poder realizar el cálculo.