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¡Qué curioso!

El baile de los números primos y compuestos

Recordemos que, los números compuestos pueden escribirse como producto de varios números. Los números primos no se pueden escribir como producto de varios números.  (*) Salvo la forma evidente: el propio número, multiplicado por 1. 

Si vamos pidiendo a los números que se agrupen formando parejas, tríos, quintetos, etc. según se pueda (porque sean divisibles por 2, 3, 5), comenzarán a representar una bonita coreografía, que recuerda al baile de la rueda cubana.

En esta visualización, cuando se pase por algún número primo, se indicará "prime" (número primo, en inglés), y si es compuesto, aparecerá su factorización.

  • ¿Qué se observa de peculiar con los números primos?
  • ¿Qué relación hay entre la factorización y los grupos que se forman?
Visualización de números
(Click para ir datapointed.net, de donde se ha tomado esta animación)

Ilustración de personas bailando una rueda cubana

Las cigarras se protegen con números primos

En Estados Unidos hay varias especies de cigarras que han adaptado sus ciclos vitales para coincidir con ¡números primos!

Las cigarras esperan durante 7, 13 o 17 años siendo ninfas bajo tierra, antes de emerger como adultas y formar una plaga de cientos de miles de individuos.

¿Y por qué eligen números primos? ¡Porque así están más protegidas!

Cigarra posada en una rama

Es la mejor forma de evitar coincidir con posibles depredadores o parásitos, cuyos ciclos suelen ser de 2 o 3 años.

  • Si alguna vez coinciden con uno de ellos, la próxima vez que coincidan será en el mínimo común múltiplo (MCM) de sus respectivos ciclos. Como el de la cigarra es primo, el MCM se calculará multiplicando ambos -lo más grande, dentro de sus posibilidades-
  • Así logra retrasar al máximo el momento de coincidir con ellos. Además, como pasan tantos ciclos del depredador o parásito, evitan que éste se acostumbre a ir siempre a por la cigarra; sencillamente porque normalmente no la encuentra.

Lo sorprendente es que puedan llevar la cuenta del tiempo, sabiendo que han pasado, por ejemplo, 17 años. Es más, cuando alguna decide salir antes de tiempo, elige también una cantidad de años que sea número primo.

¿Interesante? Para ampliar la información, podemos leer este artículo de la web xataka (hacer click).

El algoritmo de Euclides

Los números primos son importantes para los matemáticos desde la antigüedad. El matemático griego Euclides describió uno de los primeros algoritmos conocidos.

Precisamente es para calcular el MCD de una manera rápida sin recurrir a descomponer en producto de números primos. Simplemente hay que hacer algunas divisiones.

Conjunto de operaciones que deben hacerse para resolver un problema

Con la siguiente actividad veremos cómo se utiliza.

Actividad "El algoritmo de Euclides":

Interactividad GeoGebra

Si no puedes ver bien la actividad, visita https://www.geogebra.org/m/zhhsbugg

Instrucciones:

  • Pulsando en los botones «  y »  veremos, paso a paso, el procedimiento para calcular el MCD 
  • Pulsando en "Cálculos", veremos el desarrollo entero
  • Podemos elegir entre calcular con números al azar, o introducir los que nosotros prefiramos (pulsando en "Introducir números" y luego en "Calcula")

Nuestro turno

  • Vamos a elegir algunas parejas de números y, con ayuda de la actividad, usaremos el algoritmo de Euclides para calcular el MCD de cada pareja.
  • Escribiremos el proceso en nuestro cuaderno, explicando detalladamente cada paso.

Historias de divisibilidad y múltiplos

Alejandro ha encontrado algunas "Historias de divisibilidad, múltiplos y divisores" en el blog de Ana García Azcárate. ¿Intentamos resolverlas?

La escalera del castillo

Para subir al viejo castillo, hay que subir una escalera larga, larga….

Tres amigos quieren llegar al castillo.

  • Pedro sube los escalones, despacio y de uno en uno
  • María de dos en dos
  • Pablo, veloz, salta los escalones de tres en tres
  • Pedro empieza a subir en el escalón primero, María en el segundo escalón y Pablo en el tercero.

¿Cuáles son los escalones que solo pisan dos personas?

La escalera de la casa de Pilar

Anabel va a visitar a su amiga Pilar. Al llegar a su casa sube las escaleras saltando los escalones de forma variada de uno en uno o de dos en dos, según le da. Pilar baja a su encuentro, bajando los escalones de tres en tres.

Las dos amigas se encuentran en el octavo escalón contando desde abajo, después de haber hecho cada una el mismo número de saltos.

Para que se cumplan todas estas condiciones, ¿cuántos escalones puede tener la escalera de entrada a la casa de Pilar?

El saco de canicas

Cuatro amigos, Marcos, Iván, Francisco y Luis quieren descubrir el número total de canicas que contiene un saco, del que tienen la siguiente información: 

  • El saco tiene nada menos que entre 1300 y 1500 canicas.
  • Marcos, que las ha agrupado de dos en dos, comenta que le sobró una.
  • En cambio Iván, que las agrupó de tres en tres, dijo que no le sobró ninguna.
  • Francisco, que intentó formar grupos de cinco canicas, aseguró que le faltaron dos canicas.
  • Por fin Luis, que formó grupos de siete en siete, dijo que al final le sobraron cuatro canicas.

Averigua exactamente cuántas canicas hay en el saco.