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¿Jugamos con las potencias?

Las Torres de Hanoi

Aunque no lo parezca, las potencias aparecen en muchas situaciones al resolver problemas. Por ejemplo, Pedro ha encontrado que para calcular cuántos movimientos hacen falta para resolver las torres de Hanoi, necesitamos usar potencias.

¿Conoces el juego? Aquí lo tenemos:

JUEGO "Las Torres de Hanoi"

Se trata de conseguir mover todos los discos a otra de las torres. Reglas

En cada movimiento sólo se puede mover el disco superior de una torre
No podemos poner un disco grande encima de otro más pequeño.

 

Interactividad GeoGebra

Si no puedes ver bien la actividad, visita https://www.geogebra.org/m/ShhEGWAH

Instrucciones:

  • Para mover los discos de una pila a otra, primero hay que pulsar en ella y luego en el botón correspondiente para decir dónde moverlo
  • Se pueden probar otros modos de juego, cambiando el número de discos con los que jugar o su posición inicial.

La Leyenda...

Dice la leyenda que, al crear el mundo, Dios situó sobre la Tierra tres varillas de diamante y sesenta y cuatro discos de oro. Los discos son todos de diferente tamaño e inicialmente fueron colocados en orden decreciente de diámetros sobre la primera de las varillas.

También creó Dios un monasterio cuyos monjes tienen la tarea de trasladar todos los discos desde la primera varilla a la tercera. La única operación permitida es mover un disco de una varilla a otra cualquiera, pero con la condición de que no se puede situar un disco encima de otro de diámetro menor.

La leyenda dice también que cuando los monjes terminen su tarea, el mundo se acabará .

¿Cuántos movimientos hacen falta?

Por supuesto, depende del número de bloques. Como mínimo, para cambiar todos los discos de una torra a otra, hacen falta...

3 bloques 23-1=7 movimientos
4 bloques 24-1=15 movimientos
5 bloques 25-1=31 movimientos 
6 bloques 26-1=63 movimientos.

...

¿Podríamos calcular cuántos movimientos harán falta si tenemos 8 bloques

¿Cuántas veces se puede doblar una hoja de papel?

Si doblamos una hoja por la mitad, y luego otra vez, y otra vez... ¿Podrá hacerse muchas veces? Hay quien dice que el máximo es 7 veces, no importa que la hoja pueda ser muy grande.

Además, aunque el grosor del papel sea muy pequeño, dado que ponemos una capa sobre otra...

  • Al doblar, el grosor resulta el doble
  • Al volver a doblar, el grosor vuelve a multiplicarse por 2
  • Y así una y otra vez... ¡aparecen las potencias de 2!

Y las potencias de 2 enseguida se hacen muy grandes. Por ejemplo, 210=1024.
Con unas cuantas dobleces, podríamos tener un papel doblado muy, muy alto.

¿Hacemos las cuentas? Pulsando en este enlace veremos un vídeo del canal Derivando donde nos lo cuentan todo.

Números felices

Números con caras felices y no felices

Ainara ha propuesto el siguiente juego:

  • Pensamos en un número, y sumamos los cuadrados de sus cifras
    Por ejemplo, para 28 haríamos 22+82=68
  • Seguimos calculando cuadrados y sumando, hasta llegar a 1 (o que salgan números repetidos)
    En el ejemplo: 62+82=100, y luego 12+02+02=1
  • Si llegamos a 1, teníamos un número feliz ¡porque se queda a descansar en el 1 para siempre!
    Si empiezan a salir números repetidos, es un número infeliz (se mete en un proceso que nunca para).

Así que, 28 es un número feliz.

Ahora, nos propone el reto:

averigua si los números 19 y 20 son felices.


Nuestro turno

  • Si nos fijamos, 10, 100, 1000, 10 000,... son todos felices, así que ¡hay infinitos números felices!
  • ¿Hacemos la comprobación para otros números que elijamos nosotros?

Para ampliar

Podemos razonar por qué siempre acabaremos llegando a 1, o bien entrando en una cadena de números que se repiten (aunque no tiene por qué ser una cadena pequeña).