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Magia con potencias y sistemas de numeración

Potencias y sistemas de numeración

Alicia ha estado investigando unos trucos de magia relacionados con las potencias y los sistemas de numeración. ¿Sabías que no siempre se han representado los números como hacemos ahora? ¿Recuerdas los números romanos?

Ahora usamos un sistema posicional, basado en potencias de 10, aunque también existe el sistema binario (basado en las potencias de 2), etc.

Las potencias enseguida dan números muy grandes. Por ejemplo, con solo elevar al cubo 103=10·10·10=1000. Esto puede ser útil, por ejemplo, para nombrar todos los habitantes de una ciudad, o los socios de un equipo con solo unos cuantos símbolos-cifras: para decir "el socio número 73" solo necesitamos dos cifras.

Pero también puede ser la base para hacer algunos trucos de magia, donde con unas pocas preguntas podremos averiguar qué número hemos elegido; bien porque con cada pregunta usamos un exponente mayor, bien porque obtenemos la expresión de un número en cierta base.

¿Vemos los trucos que ha preparado Alicia?

Interactividad GeoGebra

Si no puedes ver bien la actividad, visita https://www.geogebra.org/m/Tevw3t59

El valor de cada cifra depende del lugar (posición) que ocupa.
Por ejemplo, en base 10, 255=2·100+5·10+ 5 . La cifra"5" toma dos valores diferentes: 50 y 5, según la posición en la que se encuentra escrita.

(Aprenderemos más en el apartado "Sistemas de Numeración" de esta sección)


Nuestro turno

Viendo la explicación matemática de los trucos de magia, ¿podremos preparar unos trucos similares a los de Alicia, siguiendo sus explicaciones?

Trucos con cartas

Podemos hacer trucos de cartas con la misma base matemática que los trucos de Alicia.

El primer truco podría hacerse igual, distrayendo a los espectadores tras la primera pregunta para que no vean que en los nuevos montones dejamos una única carta del montón que tiene la carta correcta. Puede hacerse con 32=9, 42=16 o 52=25 cartas.

También podemos cambiar algunos detalles para que sea más difícil que nos descubran. ¿Probamos?

Persona ofreciendo unas cartas en abanico, para elegir una

Pulsamos en la versión del truco que queramos ver.

Las 9 cartas

Pedimos a un espectador que elija una carta de un montón en el que hay 9 cartas, pero que no la enseñe. Nosotros averiguaremos cuál es:

  1. Barajamos las cartas, y las repartimos una a una en tres montones (cada vez, una carta en un montón).
    Cada montón tendrá 9 : 3= 3 cartas
  2. Pedimos que nos diga en qué montón está su carta y juntamos los montones dejando en medio el que tiene su carta
  3. Volvemos a hacer el reparto, volvemos a preguntar dónde está la carta y a dejar su montón en el medio
  4. "Mágicamente", la carta elegida es la que está justo en el medio de la baraja (como hay 9, contamos 4 cartas, y quinta es la del espectador)

Las 27 cartas

Pedimos a un espectador que elija una carta de un montón en el que hay 27 cartas, pero que no la enseñe. Nosotros averiguaremos cuál es:

  1. Barajamos las cartas, y las repartimos una a una en tres montones (cada vez, una carta en un montón).
    Cada montón tendrá 27 : 3= 9 cartas
  2. Pedimos que nos diga en qué montón está su carta y juntamos los montones dejando en medio el que tiene su carta
  3. Volvemos a hacer el reparto, volvemos a preguntar dónde está la carta y a dejar su montón en el medio
  4. Lo hacemos una tercera vez
  5. "Mágicamente", la carta elegida es la que está justo en el medio de la baraja (como hay 27, contamos 13 cartas, y la del espectador es la número 14)

Ampliación

El segundo truco de Alicia se basaba en la expresión en base 2 de los números.

Con el siguiente truco nos basaremos en la expresión en base 3. Aunque es algo más complicado, podemos hacerlo si lo analizamos con detenimiento

Las 9 cartas, y la carta elegida aparecerá en la posición que diga otro espectador

Por ejemplo, si el primer espectador eligió el as de copas y el segundo dijo el número 3, la tercera carta será... ¡el as de copas! 

  • Haremos igual que en el truco de las 9 cartas, pero al recoger los montones, codificaremos en base 3 cuántas cartas habrá delante de la elegida por el espectador
  • Con la primera pregunta tendremos la primera cifra, y con la segunda pregunta, la segunda cifra
  • Recordemos que, en base 3, 000101, 202, 310, 411, 512, 620, 721, 822

[*] Si repartimos las cartas teniendo siempre los dibujos hacia arriba, hay que empezar a repartir por abajo del mazo (o lo giramos para repartir más cómodamente), y al "adivinar" la carta del espectador, contaremos desde arriba del mazo.

  • Cuando el espectador diga en qué montón está su carta, juntamos los tres montones teniendo en cuenta qué cifra corresponde:
    0 ⇢ No ponemos montones delante (el montón señalado por el espectador será el primero)
    1 ⇢ Ponemos un montón delante (el montón señalado por el espectador queda en el medio)
    2 ⇢ Ponemos dos montones delante (el montón señalado por el espectador será el último)

Por ejemplo, si queremos que la carta elegida por el espectador quede la sexta (tenga 512 cartas delante), la primera vez cogeremos el montón elegido en último lugar, pero la segunda vez lo dejaremos en el medio. 


Para profundizar más

  • Podemos intentar hacer la versión "Las 16 cartas" de estos trucos, utilizando cuatro montones en lugar de tres, y también 2 preguntas (16=42), o la versión "Las 25 cartas", con cinco montones
  • Podemos hacer la versión "Las 27 cartas, y la carta elegida aparecerá en la posición que diga otro espectador", codificando en base 3 los números hasta 27.